LOGIC
GS Đoàn Văn Phi Long
Có hai loại toán: Toán thuần túy dạy ở các trường học như Hình học, Đại số, Tân toán học, Xác suất, Thống kê v.v. và Toán logic không được dạy ở trường học. Giỏi Toán thường chưa chắc giỏi Toán logic và ngược lại cũng thế.
Logic
a) Phỏng đoán, giả thuyết, giả sử (conjecture, hypothese, suppose): đoán về một cái gì đó dựa trên cách nó biểu hiện và không có bằng chứng.
Thí dụ: Phỏng đoán hôm nay trời có mưa, giả thử anh trúng độc đắc, giả dụ một hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau.
Muốn chứng minh một phỏng đoán đúng, ta phải chứng minh nó luôn luôn đúng,
còn muốn chứng minh sai chỉ cần dùng một phản thí dụ (counterexample)
Phát biểu, tuyên bố, bày tỏ (Statement)
Phát biểu có điều kiện= Conditional statement: Nếu P thì Q
Nếu trời mưa thì có mây
Nếu có tiền thì có hạnh phúc
Suy Luận, phỏng đoán (Inference): Một kết luận đạt được trên cơ sở bằng chứng và lý luận.
Từ đồng nghĩa: diễn dịch, kết luận, lý luận, phỏng đoán, luận án, giả thuyết, giả thuyết, giả định, giả định, giả định, tính toán, ngoại suy.
b) Logic (Lôgic= Luận lý học): Lý luận được tiến hành hoặc đánh giá theo các nguyên tắc nghiêm ngặt về tính hợp lệ (validity).
Từ đồng nghĩa: khoa học về lý luận (science of reasoning), luận lý học (science of deduction), khoa học về suy diễn (science of thought), khoa học tư tưởng (dialectics), biện chứng tranh luận (argumentation), phân loại (ratiocination), "nghiên cứu về logic"
c) Diễn dịch (Deductive reasoning): Nếu phát biểu P đúng thì suy ra kết luận Q , xin đừng lẫn lộn với phát biểu có điều kiện ở trên.
Trong logic học, suy luận diễn dịch được định nghĩa là suy luận nhằm rút ra những kiến thức riêng biệt từ những kiến thức phổ biến. Trong suy luận diễn dịch, thông thường tiền đề là những phát biểu chung, còn kết luận là phát biểu riêng rút từ cái chung.
Đi xuống từ chung tới riêng gồm có Tam đoạn luận:
1. Tất cả đàn ông đều sinh tử. (Tiền đề đầu tiên P)
2. Socrates là một người đàn ông. (Tiền đề thứ hai, một trường hợp riêng của 1)
3. Do đó, Socrates là sinh tử. (Phần kết luận Q)
d) Hợp lệ và logic
Nếu các tiền đề đúng, biện luận diễn dịch là logic. Nếu các tiền đề không đúng, biện luận diễn dịch là hợp lệ (validity) nhưng không logic.
Biện luận sai (Ngụy biện) thường mang hình thức đó.
Sau đây là một thí dụ của một biện luận hợp lệ nhưng không logic
1. Mọi người ăn cà rốt là một cầu thủ bóng tròn (sai)
2. Tùng ăn cà rốt.
3. Vì vậy, Tùng là một một cầu thủ bóng tròn
e) Diễn dịch trực tiếp
Diễn dịch trực tiếp là suy diễn từ một tiền đề nghĩa là có thể rút ra kết luận mà chỉ căn cứ vào một tiền đề duy nhất (đoạn 2 được hiểu ngầm)
Sơ đồ suy diễn : Nếu A thì B
Đọc là : Từ A suy ra B; có A vậy có B, A cần B, A đủ cho B
A được gọi là tiền đề, B là là một trường hợp riêng của A.
Ví dụ Logic:
Mọi hành vi phạm pháp cần phải được nghiêm trị (A).
Suy ra : Một số hành vi phạm pháp cần phải được nghiêm trị (B) (B là một trường hợp của A)
Còn nhiều diễn dịch logic khác
Ví dụ: Một số sinh viên là vận động viên.
Suy ra: Một số vận động viên là sinh viên.
Ví dụ: Mọi luật sư đều am hiểu logíc học.
Suy ra: Một số luật sư am hiểu logíc học.
Ví dụ: Không một người nào sống đến 150 tuổi.
Suy ra: Nhiều người không sống đến 150 tuoỉ.
f) Qui nạp (Induction)
inductive logic: logic quy nạp
Trong lý luận quy nạp, kết luận đạt được bằng cách khái quát hoặc ngoại suy từ các trường hợp cụ thể đến các quy tắc chung, tức là, có sự không chắc chắn về phân sinh (epistemic). Tuy nhiên, lý luận quy nạp được đề cập ở đây không giống như cảm ứng (inductin) được sử dụng trong chứng minh toán học - cảm ứng toán học thực sự là một dạng lý luận diễn dịch.
Lý luận diễn dịch hay suy luận ("logic từ trên xuống") tương phản với lý luận quy nạp ("logic từ dưới lên") theo cách sau; trong lý luận suy luận, một kết luận đạt được một cách triệt để bằng cách áp dụng các quy tắc chung nắm giữ toàn bộ một miền kín của diễn ngôn, thu hẹp phạm vi đang được xem xét cho đến khi chỉ còn lại kết luận.
g) Giỏi Logic
Có phải các thành phần sau đây đều giỏi Logic
-Đoạt huy chương vàng Olympic về Toán
-Đoạt giải Field tương đương giải Nobel như Giáo sư Ngô Bảo Châu: không thấy ông viết bài nào có Logic, ngay cả không phân biệt được Giáo sư chỉ là Teacher chớ không phải là Professor. Cuộc trò chuyện của NBC ở đài truyền hình với bộ trưởng giáo dục không cho thấy ông có lập luận gì đặc biệt chỉ là chuyện thường ngày ở phường (Liên Xô).
-PhD về Toán, artificial Intelligence
-Master về computer, Lawyer, Kỷ sư, Bác sĩ Y khoa, Giáo sư Toán
-Học sinh lớp 12 chuyên toán
-Top IQ (160 và cao hơn). Tỷ số trở thành nhà Bác học không cao. Eistein có IQ cở 130.
-Trúng tuyển Umat ở Y Nha khoa.
-Trúng tuyển vào trường selective. Một số lớn rớt Toán specialist và Vật lý.
Những thành phần trên chỉ giỏi phần mình học nhưng không giỏi logic.
Muốn có Logic
Phải học Triết học (Phylosophy), Luận lý học (Logic), Đạo đức học (Ethics), Ngôn ngữ Tỷ hiệu, các phương pháp toán học như phép Nghịch đảo, Mâu thuẩn, Exhaustion Methode (Phép Liệt kê mọi trường hợp), Induction Logic, Deduction Logic, Xác suất, Thống kê, Truth Set Theory về Luận lý dưới dạng toán học, đọc các sách khoa học, và có bộ óc bén nhạy nhanh như máy computer, phải biết phân tích và tổng hợp các môn khó học khó nhớ thành Phương Pháp học.
Học sinh lớp 12 Úc có Phylosophy và Ethics học nhiệm ý, không bắt buộc nên ít người học. Đề thi có nhiều câu khó. Tựa đề Phylosophy và Ethics (Triết học và Đạo đức học) là sai vì đề bài thi là Luận Lý Học (Logics). Xin nêu ra vài đề thi mẫu
Câu hỏi 1
Jack là một con mèo, bởi vì tất cả những con mèo đều là động vật có vú, và Jack là một động vật có vú.
Đối với các lý luận trên:
(a) Gạch dưới kết luận.
(b) Đặt tên cho sai lầm.
Giải đáp: a) Jack là một động vật có vú.
b) sai logic diễn dịch: đúng phải là “suy ra Jack là một động vật có vú”
Câu hỏi 2
(a) Thể hiện câu sau đây dưới dạng phát biểu có điều kiện (Nếu X, thì Y).
Quả bóng cricket có màu đỏ hoặc màu trắng.
Giải đáp: a) Nếu quả bóng cricket không phải là màu đỏ thì chúng có màu trắng
Nếu X thì Y = (không phải X) hay Y= -X V Y (V là hay)
(b) Bạn không thể mua rượu trừ khi bạn từ mười tám tuổi trở lên.
Gạch dưới câu bên dưới có nghĩa giống như câu trên.
(i) Từ mười tám tuổi trở lên là đủ để có thể mua rượu.
(ii) Từ 18 tuổi trở lên là cần thiết để có thể mua rượu.
Answer: (ii)
(c) Một người có thể là thành viên của Câu lạc bộ Thuyền buồm Rạng đông chỉ khi người đó ít nhất 16 tuổi.
Gạch dưới câu bên dưới tương đương về mặt logic với câu trên.
(i) Nếu một người từ 16 tuổi trở lên, thì họ có thể là thành viên của Câu lạc bộ Thuyền buồm Rạng đông.
(ii) Nếu một người có thể là thành viên của Câu lạc bộ Rạng đông, thì họ phải ít nhất 16 tuổi.
Giải đáp: (ii) chỉ khi =do đó= suy ra
Ở VN từ thời Pháp đến cuối năm 1960 lớp 12 có dạy Triết học, Đạo đức học và Luận Lý học. Tôi là một trong những người cuối cùng học các môn này, năm 1960 bị cắt bỏ, chỉ dạy ở đại học. Toán dạy theo chương trình Pháp và dạy Truth Set Theory theo sách Mỹ. Trong nước sau 75 và hiện nay không còn các môn này ở lớp 12, kể cả đa số các nước trên thế giới. Năm thứ hai Đại học, chứng chỉ CDI (Calcule Differential and Integral), thầy Đặng Đình Án dạy Modern Algebra từ một cuốn trong tổng số 10 cuốn Bourbaki sách của Pháp, rất khó vì chỉ có một cách độc nhất để giải bài toán là dùng mâu thuẩn dương (contrapositive).
Sau đây là một bài toán logic của cuộc thi tuyển sinh lớp chót tiểu học ở Singapore, đã gây ra cuộc bàn luận sôi nỗi không tiền khoáng hậu trên thê giới.
Sasmo 2015
Albert và Bernard vừa trở thành bạn với Cheryl, và họ muốn biết khi nào sinh nhật của cô ấy. Cheryl cung cấp cho họ một danh sách 10 ngày thích ứng.
Ngày 15 tháng 5 (May) ngày 16 tháng 5 ngày 19 tháng 5
Ngày 17 tháng 6 (June) ngày 18 tháng 6
Ngày 14 tháng 7(July) ngày 16 tháng 7
Ngày 14 tháng 8 (August) ngày 15 tháng 8 ngày 17 tháng 8
Cheryl sau đó nói với Albert và Bernard một cách riêng biệt trong tháng và ngày sinh nhật của cô tương ứng.
Albert: Tôi không biết khi nào sinh nhật của Cheryl, nhưng tôi biết rằng Bernard cũng không biết.
Bernard: Lúc đầu tôi không biết khi nào sinh nhật của Cheryl, nhưng tôi biết bây giờ.
Albert: Tôi cũng biết khi nào sinh nhật của Cheryl.
Vậy khi nào là sinh nhật của Cheryl?
Giải đáp của Sasmo
Trong số 10 ngày, giới hạn từ 14 đến 19, chỉ có 18 và 19 mỗi lần xuất hiện một lần. Nếu ngày sinh nhật Cheryl là 18 hoặc 19, thì Bernard sẽ biết khi nào sinh nhật của Cheryl là kể từ khi Cheryl kể cho anh nghe ngày sinh nhật của cô.
Nhưng tại sao Albert biết rằng Bernard không biết?
Nếu Cheryl đã nói với Albert rằng tháng sinh của cô là tháng 5 hoặc tháng 6, thì có thể sinh nhật của cô có thể là ngày 19 tháng 5 hoặc 18 tháng 6. Điều này có nghĩa là Bernard có thể biết khi nào sinh nhật của Cheryl.
Thực tế là Albert biết rằng Bernard không biết có nghĩa là Cheryl đã nói với Albert rằng tháng sinh của cô là tháng Bảy hoặc tháng Tám.
Ban đầu Bernard không biết khi nào sinh nhật của Cheryl, nhưng làm sao anh biết sau khi Albert lần đầu tiên nói?
Trong số 5 ngày còn lại trong tháng 7 và tháng 8; trong khoảng từ 15 đến 17, chỉ có 14 lần xảy ra hai lần.
Nếu Cheryl nói với Bernard ngày sinh nhật của cô ấy là 14 thì Bernard sẽ không biết. Thực tế là Bernard biết có nghĩa là ngày sinh nhật của cô không phải là 14. Vì vậy, bây giờ chúng tôi còn lại với 3 ngày có thể: ngày 16 tháng 7, ngày 15 tháng 8 và ngày 17 tháng 8.
Sinh nhật của Cheril là ngày 16 tháng 7
Lời giải của ĐVPL
Đây là đề bài thi Sasmo 2015 ở Singapore tuyển sinh năm chót Tiểu học cho các nước Đông Nam Á kể cả Hồng Kong, Indonesia. Hồi ấy báo chi Tây phương có đăng rộng rãi. Có 5000
người tham dự cho rằng lời giải của Sasmo đưa ra không đúng, mỗi người có một cách biện luận khác nhau, không ai chịu thua ai. Lý do đây là Toán logic rất khó phân tích, mỗi người nhìn dưới một gốc cạnh khác thì có lời giải khác và có rất nhiều đáp số khác nhau. Thí dụ chỉ cần thay câu “anh ta chắc chắn rằng Bernard không biết” thành “anh ta không thể chắc chắn rằng Bernard không biết” thì lý luận hoàn toàn khác hẵn đi.
Tôi tranh luận với một PhD về Artifitial Intelligence và một Master về computer nhưng cả hai đều cho lời giải của Sasmo đúng. Cuối cùng tôi viết bài đính kèm dưới đây, soạn trong vòng nửa giờ gởi cho Sasmo và được chủ nhà đăng trong một năm. Từ đó không còn ai bàn luận nữa.
Bài viết bằng tiếng Anh, xin tạm dịch
Giáo Sư Toán Đoàn Văn Phi Long:
Biện luận trong đoạn 2 và 3 của bài giải trên không chính xác. Trong Đại số của Mệnh đề
và Định luật của tập hợp sự thật, một biện luận là một tập hợp các mệnh đề, được gọi là tiền đề “P1, P2, P3… Pn suy ra một cách logic kết luận Q”. Lý luận là đúng (hợp lệ) nếu Q là đúng bất cứ khi nào tất cả các tiền đề đều đúng, nếu không thì biện luận là sai (mộ sự sai lệch). Trong môn Toán, đây được gọi là Phương pháp diễn dịch.
Biện luận trong đoạn 2 và 3 của bài giải trên có thể được viết lại là “P1 = May hoặc P2 = June hoặc P3 = July suy ra một cách logic Q = Bernard biết” là sai lầm vì vào ngày 19 tháng 5 hoặc 18 tháng 6, anh biết nhưng vào tháng 5 15 hoặc 16 tháng 5 anh không biết, có nghĩa là Q không đúng.
Chúng ta có thể biện luận cách khác: Từ phát biểu đầu tiên của Albert, ngày 18 và 19 xảy ra một khi Bertnard biết, mâu thuẫn với Bertnard không biết (Phương pháp mâu thuẫn). 17 tháng 6 cũng bị loại trừ ngay sau khi loại bỏ ngày 19 tháng 5, 18 tháng 6 kể từ khi Albert biết nếu là tháng Sáu. Chúng tôi cũng cố gắng tìm xem liệu có đáp số trong hai tháng khác bằng cách sử dụng phương pháp Exhaustion =phương pháp xét theo từng trường hợp bao gồm 3 tháng, 2 tháng.
Trường hợp 1 (ba tháng 5, 7, 8): Có hai 15, hai 16, hai 17, hai 14 do đó Bernard không hề biết, trái ngược với Bernard biết, từ tuyên bố thứ hai của Bernard, không có đáp số.
Trường hợp 2 (2 tháng 5 và 7): Có 3 đáp số ngày 15 tháng 5, ngày 14 tháng 7, ngày 16 tháng 7 Bernard biết nhưng chúng tôi phải loại trừ vì Cheryl không thể có 3 sinh nhật.
Trường hợp 3 (2 tháng 5 và tháng 8): 15 tháng 5, 14,15,17 tháng 8. Nếu là 15 tháng 5 hoặc 15 tháng 8, Bertnard không biết và nếu đó là ngày 14 tháng 8 hoặc ngày 17 tháng 8, Albert không biết vì thế không có đáp số.
Trường hợp 4 (tháng Bảy và tháng Tám): Nếu là ngày 14 tháng Bảy hoặc ngày 14 tháng Tám, Bernard không biết, và nếu đó là ngày 15 tháng Tám hoặc ngày 17 tháng Tám, Albert không biết. Chỉ có ngày 16 tháng 7 cả hai đều được biết đến và đây là sinh nhật của Cheryl.
2 Lời giải khác của Sasmo một năm sau bài giải của ĐVPL
Phần gạch dưới là một đoạn được sửa lại
“Từ tuyên bố đầu tiên, chúng ta biết rằng Albert chắc chắn rằng Bernard không biết sinh nhật, vì vậy tháng Năm và tháng Sáu nên được loại trừ (ngày 19 chỉ xuất hiện vào tháng Năm và ngày 18 chỉ xuất hiện vào tháng Sáu). Nói cách khác, nếu Albert có tháng Năm hoặc tháng Sáu, thì anh ta không thể chắc chắn rằng Bernard không biết, vì Bernard có thể có 18 hoặc 19.
Sau tuyên bố đó, Bernard biết rằng tháng Năm và tháng Sáu bị loại trừ”
Nhưng như thế lại vấp phải một lỗi lầm khác
Lý luận ”Nếu là tháng Năm hay Sáu thì không thể là ngày 18 hay 19 (chỉ xuất hiện một lần) vì Bernard có thể biết là tháng nào. Do đó phải loại trừ tháng Năm và tháng Sáu” là không logic.
Đây là phát biểu có điều kiện (Conditional statement): Nếu P thì Q, chỉ sai khi P đúng Q sai, và không tương đương với nếu –P thì Q.
Xin nêu vài thí dụ
-Nếu là tháng Năm thì trời nắng 40 độ C. Nhưng ngày 18 có bảo nên là phát biểu sai. Do đó tháng Năm phải bị loại bỏ.
- “Nếu là đá thì sinh tử” là phát biểu sai nên đá phải loại trừ nghĩa là
“Nếu không phải đá thì sinh tử”
-“Nếu là người thì sống đến 180 tuổi” là phát biểu sai nên phải loại trừ người nghĩa là
“Nếu không là người thì sống đến 180 tuổi”
Một câu hỏi của đề thi Tú tài 2 VN không rõ ràng
Khoảng 1967 trong cuộc chấm thi Tú tài 2 môn toán ở Cần Thơ, khi chấm được nửa buổi thì tôi phát giác có một câu hỏi nhưng có tới hai cách trả lời khác nhau, liền thông báo cho Trưởng ban Toán biết. Ông này cho hợp để giám khảo tranh luận thực hư. Lúc đầu các giám khảo cho câu hỏi rõ ràng chính xác nhưng tôi cho là sai. Bàn cải chừng 2 tiếng thì toàn thể giám khảo công nhận là câu hỏi có vấn đề nghiêm trọng. Trưởng ban đánh điện về bộ và Bộ triệu tập tất cả giáo sư từ mũi Cà Mau đến Bến Hải về tập hợp tại hội trường Marie Curi, khoảng hơn 600 người. Bàn luận khoảng hai giờ thì tất cả hội trường thống nhất ý kiến của tôi và cho điểm tối đa câu hỏi sai.
Vậy toán cũng cần có logic phân biệt các chi tiết tinh vi mà mắt thường không phân biệt được.
Phép hàm phép áp
Không thấy nước nào có định nghĩa chinh xác phép hàm (còn gọi là hàm só hay vắn tắc hàm) kể cả VN, Úc, Anh và các nước Á Châu giỏi toán như Singapore, Korea, Nhật. Chỉ có Pháp là phân biệt rõ ràng hai từ này.
Thí dụ: Ở VN khái niệm hàm số ở lớp 10 hiện nay là
“Cho một tập hợp không rỗng D nằm trong tập số thực R. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số ký hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f ”
Định nghĩa sai hoàn toàn vì đây không phải là phép hàm, tiếng Pháp là fonction; mà là phép áp, tiếng Pháp là application. Tiếng Anh gọi chung phép hàm và áp là function.
Chỉ có những học sinh VN trước 75 mới phân biệt được phép áp và hàm vì học toán theo chương trình Pháp và Mỹ. Xin định nghĩa phép hàm như sau
Hàm f : Mỗi x thuộc tập số thực R tương ứng nhiều nhất một y, nghĩa là có khi không có y, và nếu có thì chỉ có một.
Trong phép hàm, tập xác định không cần nêu ra, có thì chẳng được lợi lộc gì thêm, không có cũng không sao.
Định nghĩa khác chính xác hơn: “Phép hàm là một cặp thứ tự (x,y) trong đó không có hai cặp cùng phần tử x”
nghĩa là hoặc không có y, hoặc nếu có thì chỉ có một y.
Thí dụ: Qui tắc từ R đến R định bởi công thức y= 1/x
-không phải là phép áp vì khi x=0, y=1/0 không xác định nên không có y tương ứng.
-là một phép hàm
Vì không cần phải nêu ra miền xác định D nên phép hàm rất giản dị, được áp dụng trong mọi ngành nghề như Vật lý, hóa học, Kinh tế và cả toán học. Thí dụ khi lấy đạo hàm nguyên hàm, hàm số hợp, hàm nghịch đảo, công thức lượng giác v.v. thì không cần phải kê ra miền xác định lôi thôi lếch thếch.
Ngược lại phép áp rất phức tạp vì phải nêu ra miền xác định, chỉ được dùng trong lý thuyết để nghiên cứu vì bị gò bó bởi rất nhiều điều kiện, nhất là phép áp hợp, áp nghịch đảo cần nhiều dữ kiện khó áp dụng trong thực tế nên không thực dụng; phức tạp nên học sinh thường làm sai và chỉ sau vài tuần là quên hết cách giải.
Sách Úc và đề thi tốt nghiệp lớp 12 sai quá nặng, kể như hết thuốc chữa vì định nghĩa function bằng phép áp.
Tôi nói với Cô T có bằng PhD (Tiến sĩ) về toán là function trong sách Úc là phép áp không phải phép hàm thì cô này cho sách viết đúng. Tôi nói hồi ở VN tôi có dạy cho phép áp khác phép hàm sao không nhớ? Tôi đưa ra chừng một chục phản thí dụ chứng tỏ nó không phải là phép áp theo đúng định nghĩa trong sách Úc mà là phép hàm. Xin chỉ nêu ra vài thí dụ tượng trưng
-Một súng lục có 6 viên đạn nhưng một số không biết bao nhiêu là đạn mã tử (đạn lép) có thể làm mẫu cho phép áp function không?
Không có câu trả lời vì không thể tìm ra được miền xác định trước khi bắn hết đạn, thế
nhưng sách Úc lại viết nó là function.
-Qui luật f(x)= 1/[sin(log cosx- 2/tanx)] có phải là function không?
Không thể tìm ra miền xác định D nên không có câu trả lời.
- Có phải (1,2) là một phép áp trong tập hợp các cặp thứ tự RxR, R là tập số thực?
Trả lời: không vì x=3 không có y.
Cô T chịu thua nhưng 6 tháng sau lại mang sách Toán Đại học Mỹ định nghĩa function là phép áp như sách Úc hay sách VN. Tôi nói sách chỉ đưa ra định nghĩa là phép áp nhưng toàn bộ cuốn sách là phép hàm. Tôi phải lục lại các sách đã có để làm bằng chứng, rốt cuộc tìm hai quyển sách: Cuốn Schaum’s outline of Finite Mathematics nói về phép áp và cuốn Calculus của University of California nói về phép hàm. Gởi hai cuốn cho cô Tiến sĩ T xem thì chịu thua và từ đó không còn ý kiến gì nữa. Như vậy là toàn thể giáo sư Toán trên thế giới không phân biệt được trừ Pháp.
Xem ra giỏi toán chưa chắc khá logic.
Đoàn văn Phi Long
Tham khảo
1. Past WACE Examinations, Philosophy and Ethics scsa.wa.edu.au/publications/past-wace-examinations
2. LIVESCI=NCE
livescience.com/21569-deduction-vs-induction.html
3. Deductive reasoning from wikipedia
en.wikipedia.org/wiki/Deductive_reasoning
4. Schaum’s outline series of Finite Mathematics, Definition of function (nói về phép áp)
Calculus with Analytic Geometry, University of California (nói về phép hàm)
5. Schaum’s outline series of Finite Mathematics
Propositions and Truth Set tables
6. SASMO Singapor and Asian Scoools Math Olympiad
7 Doan van Phi Long Maths Teacher
The argument in paragraph 2 and 3 of the solution above is not correct. In Algebra of Propositions and Truth set theory, an argument is a set of propositions, called premises “P1, P2, P3 …Pn logically implies a conclusion Q”. The argument is true (valid) if Q is true whenever all the premises are true, otherwise the argument is false (fallacy). In Maths this is called Deduction method.
The argument in paragraph 2 an 3 from the solution above, can be rewrited as “P1= May or P2= June or P3=July logically implies Q= Bernard knows” is a fallacy because in May 19 or June 18 he knows but in May 15 or May 16 he don’t know, means Q is not true.
We may argue differently: From the first statement of Albert, days 18 and 19 occurring once Bernard would know, contradicting Bertnard don’t know (contradiction Method). June 17 is also ruled out soon after the elimination of May 19, June 18 since Albert would have known if is June. We also try to find if there is solution in other two Months by using Exhaustion or Case by case Method which consists of 3 months, 2 months.
Case 1 (3 months May, July, August): There are two 15, two 16, two 17, two 14 hence Bernard don’t kown, contradicting Bernard knows, from second statement of Bernard, there is no solution.
Case 2 (2 months May and July): There are 3 solutions May 15, July 14, July 16 Bernard knows but we have to rule out since Cheryl can’t have 3 birthdays.
Case 3 (2 months May and August): May15, August 14,15,17. If it is May 15 or August 15 Bernard don’t known and if it is August 14 or August 17 Albert don’t known hence there is no solution.
Case 4 (July and August): If it is July 14 or August 14 Bernard don’t known, and if it is August 15 or August 17 Albert don’t known. Only July 16 both of them known and this is the birthday of Cheryl
